ブロック行列
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ブロック行列とは
ブロック行列 (英：block matrix) とは、行列をいくつかのブロックに分割された行列のこと。次式の例だと、右辺がブロック行列、その要素がブロックを呼ぶ。
\[ \def\b{\boldsymbol} \begin{gathered} \b M^{(m_1+m_2)\times(n_1+n_2)} \rArr \begin{bmatrix} \b A^{m_1\times n_1} & \b B^{m_1\times n_2} \\ \b C^{m_2\times n_1} & \b D^{m_2\times n_2} \\ \end{bmatrix} \end{gathered} \]
ブロック行列の演算
ブロック行列は、行列と同様に演算することが可能である。
ブロック行列同士の加減算：
\[ \def\b{\boldsymbol} \begin{gathered} \begin{aligned} \begin{bmatrix} \b A_{1,1} & \cdots & \b A_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \b A_{m,1} & \cdots & \b A_{m,n} \\ \end{bmatrix} \pm \begin{bmatrix} \b B_{1,1} & \cdots & \b B_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \b B_{m,1} & \cdots & \b B_{m,n} \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \b A_{1,1}\pm\b B_{1,1} & \cdots & \b A_{1,n}\pm\b B_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \b A_{m,1}\pm\b B_{m,1} & \cdots & \b A_{m,n}\pm\b B_{m,n} \\ \end{bmatrix} \\ \end{aligned} \\ \\ \operatorname{row}(\b A_{i,j}) = \operatorname{row}(\b B_{i,j}), ~ \operatorname{col}(\b A_{i,j}) = \operatorname{col}(\b B_{i,j}) \end{gathered} \]
ブロック行列同士の内積：
\[ \def\b{\boldsymbol} \begin{gathered} \begin{aligned} \begin{bmatrix} \b A_{1,1} & \cdots & \b A_{1,m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \b A_{\ell,1} & \cdots & \b A_{\ell,m} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \b B_{1,1} & \cdots & \b B_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \b B_{m,1} & \cdots & \b B_{m,n} \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \b A_{1,:}\b B_{:,1} & \cdots & \b A_{1,:}\b B_{:,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \b A_{\ell,:}\b B_{:,1} & \cdots & \b A_{\ell,:}\b B_{:,n} \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \sum_{j=1}^m\b A_{1,j}\b B_{j,1} & \cdots & \sum_{j=1}^m\b A_{1,j}\b B_{j,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_{j=1}^m\b A_{\ell,j}\b B_{j,1} & \cdots & \sum_{j=1}^m\b A_{\ell,j}\b B_{j,n} \\ \end{bmatrix} \\ \end{aligned} \\ \\ \operatorname{row}(\b A_{i,j}) = \operatorname{col}(\b B_{j,k}) \end{gathered} \]
ブロック行列のスカラー倍：
\[ \def\b{\boldsymbol} \begin{aligned} k\begin{bmatrix} \b A_{1,1} & \cdots & \b A_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \b A_{m,1} & \cdots & \b A_{m,n} \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} k\b A_{1,1} & \cdots & k\b A_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ k\b A_{m,1} & \cdots & k\b A_{m,n} \\ \end{bmatrix} \\ \end{aligned} \]