テイラーの定理
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呼称
- テイラーの定理 (Taylor's theorem)
定理
$n\ge 1, ~n\in\Z$ とし、函数 $f:\R\to\R$ を $a\in\R$ で $n$ 回微分可能とすると、次を満たす函数 $r_n:\R\to\R$ が存在する。
\[ \begin{aligned} & f(x) = f(c) + \sum_{k=1}^n \frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k + r_n(x)(x-c)^n \cr & \lim_{x\to c} r_n(x) = 0 \end{aligned} \]
導出：
$n$ 階微分可能な函数 $f$ は、多項式で次のように表せる。
\[ \begin{aligned} f(x) =&~ f(c) + a_1(x-c) + r_1(x)(x-c) \cr =&~ f(c) + a_1(x-c) + a_2(x-c)^2 + r_2(x)(x-c)^2 \cr &\vdots \cr =&~ f(c) + a_1(x-c) + a_2(x-c)^2 + \cdots + a_n(x-c)^n + r_n(x)(x-c)^n \end{aligned} \tag{1} \]
$(1)$ より $a_1$ は次式のように表せる。
\[ \begin{aligned} f(x) &= f(c) + a_1(x-c) + r_1(x)(x-c) \cr a_1(x-c) &= f(x) - f(c) - r_1(x)(x-c) \cr \left[a_1(x-c)\right]^\prime &= \left[f(x) - f(c) - r_1(x)(x-c)\right]^\prime \cr a_1 &= f^\prime(x) - \left[r_1(x)(x-c)\right]^\prime \end{aligned} \]
$x\to c$ で $a_1$ が取り得る値を係数とすると、
\[ \begin{aligned} \lim_{x\to c} a_1 &= \lim_{x\to c}\left\{f^\prime(x) - \left[r_1(x)(x-c)\right]^\prime\right\} \cr &= f^\prime(c) \end{aligned} \tag{2} \]
すると、$(1),(2)$ から次のように考えられる。
\[ \begin{aligned} f(x) =&~ f(c) + f^\prime(c)(x-c) + r_1(x)(x-c) \cr =&~ f(c) + f^\prime(c)(x-c) + a_2(x-c)^2 + r_1(x)(x-c)^2 \cr &\vdots \cr =&~ f(c) + f^\prime(c)(x-c) + a_2(x-c)^2 + \cdots + a_n(x-c)^n + r_n(x)(x-c)^n \end{aligned} \tag{3} \]
$(3)$ より $a_2$ は次式のように表せる。
\[ \begin{aligned} f(x) &= f(c) + f^\prime(c)(x-c) + a_2(x-c)^2 + r_1(x)(x-c)^2 \cr a_2(x-c)^2 &= f(x) - f(c) - f^\prime(c)(x-c) - r_1(x)(x-c)^2 \cr \left[a_2(x-c)^2\right]^{(2)} &= \left[f(x) - f(c) - f^\prime(c)(x-c) - r_1(x)(x-c)^2\right]^{(2)} \cr a_2\cdot2! &= f^{(2)}(x) - \left[r_1(x)(x-c)^2\right]^{(2)} \cr a_2 &= \frac{f^{(2)}(x) - \left[r_1(x)(x-c)^2\right]^{(2)}}{2!} \end{aligned} \]
$(2)$ と同様に、$x\to c$ で $a_2$ が取り得る値を係数とすると、
\[ \begin{aligned} \lim_{x\to c} a_2 &= \lim_{x\to c}\left[\frac{f^{(2)}(x) - \left[r_1(x)(x-c)^2\right]^{(2)}}{2!}\right] \cr &= \frac{f^{(2)}(c)}{2!} \end{aligned} \tag{4} \]
$(2),(3),(4)$ から $\displaystyle f^\prime(c) = \frac{f^{(1)}(c)}{1!}$ と捉え、$(3)$ を次式のように表せると仮定する。
\[ \begin{aligned} f(x) =&~ f(c) + f^{(1)}(c)(x-c)^1 + r_1(x)(x-c)^1 \cr =&~ f(c) + f^{(1)}(c)(x-c)^1 + f^{(2)}(x-c)^2 + r_2(x)(x-c)^2 \cr &\vdots \cr =&~ f(c) + \sum_{k=1}^n\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k + r_n(x)(x-c)^n \end{aligned} \tag{5} \]
$(5)$ に $n=1$ を適用した場合、
\[ \begin{aligned} f_1(x) &= f(c) + \sum_{k=1}^1 \frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k + r_1(x)(x-c)^1 \cr &= f(c) + \frac{f^{(1)}(c)}{1!}(x-c)^1 + r_1(x)(x-c)^1 \cr &= f(c) + f^{(1)}(x-c)^1 + r_1(x)(x-c)^1 \end{aligned} \tag{6} \]
となり、$(5)$ が成り立つ。次に $a_n$ を考えると、
\[ \begin{aligned} r_{n-1}(x)(x-c)^{n-1} &= a_n(x-c)^n + r_n(x)(x-c)^n \cr r_{n-1}(x)(x-c)^{n-1} &= f(x) - f(c) - \sum_{k=1}^{n-1}\frac{f^k(c)}{k!}(x-c)^k \cr a_n(x-c)^n + r_n(x)(x-c)^n &= f(x) - f(c) - \sum_{k=1}^{n-1}\frac{f^k(c)}{k!}(x-c)^k \cr a_n(x-c)^n &= f(x) - f(c) - \sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^k(c)}{k!}(x-c)^k - r_n(x)(x-c)^n \cr \left[a_n(x-c)^n\right]^{(n)} &= \left[f(x) - f(c) - \sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^k(c)}{k!}(x-c)^k - r_n(x)(x-c)^n \right]^{(n)} \cr a_n n! &= f^{(n)}(x) - \left[r_n(x)(x-c)^n \right]^{(n)} \cr a_n &= \frac{f^{(n)}(x) - \left[r_n(x)(x-c)^n \right]^{(n)}}{n!} \cr \lim_{x\to c} a_{n} &= \lim_{x\to c}\frac{f^{(n)}(x) - \left[r_n(x)(x-c)^n \right]^{(n)}}{n!} \quad \because x\to c\cr &= \frac{f^{(n)}(c)}{n!} \end{aligned} \tag{7} \]
$(5),(6),(7)$ により、数学的帰納法から $n$ 階微分可能な函数 $f$ は次式で表せる。
\[ \begin{aligned} f(x) = f(c) + \sum_{k=1}^n \frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k + r_n(x)(x-c)^n \end{aligned} \tag{8} \]
また、$r_n(x)$ は、$(8)$ より、
\[ \begin{aligned} f(x) &= f(c) + \sum_{k=1}^n \frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k + r_n(x)(x-c)^n \cr r_n(x)(x-c)^n &= f(x) - f(c) - \sum_{k=1}^n \frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k \cr r_n(x) &= \frac{f(x) - f(c) - \sum_{k=1}^n \frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k}{(x-c)^n} \cr \lim_{x\to c} r_n(x) &= \lim_{x\to c} \frac{f(x) - f(c) - \sum_{k=1}^n \frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k}{(x-c)^n} \cr &= 0 \end{aligned} \]
となることから、
\[ \begin{aligned} & f(x) = f(c) + \sum_{k=1}^n \frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k + r_n(x)(x-c)^n \cr & \lim_{x\to c} r_n(x) = 0 \end{aligned} \]
平均値形の剰余項
\[ f(x) = \sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k + \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}(x-c)^n \]
導出：
テイラーの定理より、
\[ \begin{aligned} f(x) &= \sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k + R_n(x) \cr R_n(x) &= f(x) - \sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k \end{aligned} \tag{1} \]
コーシーの平均値の定理により、
\[ \begin{aligned} \frac{R_n(x)}{(x-c)^n} =&~ \frac{R_n(x)-R_n(c)}{(x-c)^n-(c-c)^n} = \frac{R_n^\prime(\xi_1)}{n(x-c)^{n-1}} \cr =&~ \frac{R_n^\prime(\xi_1)-R_n^\prime(c)}{n(x-c)^{n-1}-n(c-c)^{n-1}} = \frac{R_n^{(2)}(\xi_2)}{_nP_2(x-c)^{n-2}} \cr \vdots \cr =&~ \frac{R_n^{(n)}(\xi_{n})}{n!} \cr R_n(x) =&~ \frac{R_n^{(n)}(\xi_{n})}{n!}(x-c)^n \cr =&~ \frac{f^{(n)}(\xi_{n})}{n!}(x-c)^n \quad \because (1) \cr \cr \therefore f(x) =&~ \sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k + \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}(x-c)^n \end{aligned} \]