チェビシェフの不等式

#確率論

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チェビシェフの不等式とは

チェビシェフの不等式 (英：Chebyshev's inequality) とは、確率変数 $X$ の期待値を $\mu$ 、標準偏差 $\sigma$ としたとき、標準得点 $k$ 以上あるいは偏差 $k\sigma$ 以上の確率がどれくらいかを表す不等式のこと。

$\Pr(|X-\mu|\ge k\sigma) \le \frac{1}{k^2} \quad (k\gt 0)$

チェビシェフの不等式の証明：

$\begin{gathered} \begin{aligned} \sigma^2 &= \int(x-\mu)^2 p(x)~dx \\ &\qquad\ge \int_{|x-\mu|\ge k\sigma} (x-\mu)^2 p(x)~dx \\ &\qquad\qquad\ge \int_{|x-\mu|\ge k\sigma} (k\sigma)^2 p(x)~dx \\ &\qquad\qquad\qquad= (k\sigma)^2\int_{|x-\mu|\ge k\sigma}p(x)~dx \\ &\ge (k\sigma)^2\Pr(|X-\mu|\ge k\sigma) \end{aligned} \\ \\ \therefore \Pr(|X-\mu|\ge k\sigma) \le \frac{1}{k^2} \end{gathered}$

参考文献

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