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シュワルツの不等式

#線型代数学

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シュワルツの不等式

シュワルツの不等式 (英：Schwarz inequality)

∣⟨x,y⟩∣≤∥x∥∥y∥ \def\b{\boldsymbol} \vert\lang \b x,\b y\rang\vert \le \Vert\b x\Vert\Vert\b y\Vert


シュワルツの不等式の証明：

⟨x,y⟩=∥x∥∥y∥cos⁡θ∵−1≤cos⁡θ≤1−∥x∥∥y∥≤⟨x,y⟩≤∥x∥∥y∥∴∣⟨x,y⟩∣≤∥x∥∥y∥ \def\b{\boldsymbol} \begin{gathered} \lang\b x,\b y\rang = \Vert\b x\Vert\Vert\b y\Vert\cos\theta \\ \\ \because -1\le\cos\theta\le 1 \\ \\ -\Vert\b x\Vert\Vert\b y\Vert\le\lang\b x,\b y\rang\le\Vert\b x\Vert\Vert\b y\Vert \\ \\ \therefore \vert\lang \b x,\b y\rang\vert \le \Vert\b x\Vert\Vert\b y\Vert \end{gathered}

シュワルツの不等式の等号条件

y=αx \def\b{\boldsymbol} \b y = \alpha\b x \\


シュワルツの不等式の等号条件の証明：

∣⟨x,y⟩∣=∥x∥∥y∥∣∥x∥∥y∥cos⁡θ∣=∥x∥∥y∥cos⁡θ=±1 \def\b{\boldsymbol} \begin{aligned} \vert\lang \b x,\b y\rang\vert &= \Vert\b x\Vert\Vert\b y\Vert \\ \vert\Vert\b x\Vert\Vert\b y\Vert\cos\theta\vert &= \Vert\b x\Vert\Vert\b y\Vert \\ \cos\theta &= \pm 1 \end{aligned}

幾何的に cos⁡θ\cos\theta が ±1\pm 1 を満たす条件は、x,y\boldsymbol{x},\boldsymbol{y} が互いに定数倍の関係であることから、

∴y=αx \def\b{\boldsymbol} \therefore \b y = \alpha\b x

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