コーシーの平均値の定理

#解析学

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呼称

コーシーの平均値の定理 (Cauchy’s mean value theorem)

概要

ラグランジュの平均値の定理を一般化したもの。 $x$ を媒介変数として、 $f(x),g(x)$ を使って媒介変数表示している。

定理

$f,g:[a,b]\to \R$ を実数値函数で閉区間 $[a,b]$ で連続、開区間 $(a,b)$ で微分可能とするとき、 $c\in (a,b)$ が存在して、

$[g(b)-g(a)]f^\prime({c}) = [f(b)-f(a)]g^\prime({c})$

が成立する。特に $g(a)\ne g(b)$ かつ $g^\prime({c})\ne 0$ ならば、次式のように書ける。

$\frac{f^\prime({c})}{g^\prime({c})} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

導出：

函数 $F(x)$ を、

$F(x) = f(x) - \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[g(x)-g(a)]$

とする。 $F(x)$ は、閉空間 $[a,b]$ において連続かつ、開区間 $(a,b)$ において微分可能な函数であり、

$\begin{aligned} F(a) &= f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[g(a)-g(a)] \cr &= f(a) \cr F(b) &= f(b) - \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[g(b)-g(a)] \cr &= f(a) \cr \end{aligned}$

より、 $F(a) = F(b)$ である。

これにより $F(x)$ はロルの定理の条件を満たすため、 $F^\prime({c})=0,~a\lt c\lt b$ を満たす $c$ は存在する。また、

$\begin{aligned} F^\prime(x) &= \left\{ f(x) - \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[g(x)-g(a)] \right\}^\prime \cr &= f^\prime(x) - \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g^\prime(x) \end{aligned}$

により、 $x=c$ における $F^\prime({c})$ は、

$\begin{aligned} F^\prime({c}) &= f^\prime({c}) - \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g^\prime({c}) = 0 \\ [g(b)-g(a)]f^\prime({c}) &= [f(b)-f(a)]g^\prime({c}) \end{aligned}$

さらに $g(a)\ne g(b)$ かつ $g^\prime({c})\ne 0$ ならば、次式のように書ける。

$\frac{f^\prime({c})}{g^\prime({c})} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

よって、 $f,g:[a,b]\to \R$ を実数値函数で閉区間 $[a,b]$ で連続、開区間 $(a,b)$ で微分可能とするとき、 $c\in (a,b)$ が存在して、

$[g(b)-g(a)]f^\prime({c}) = [f(b)-f(a)]g^\prime({c})$

が成立する。

参考文献

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