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1のn乗根

問題

次式の xx を求めよ。

xn=1,nN x^n = 1, \qquad n\in\N

解答

x=r(cosθ+isinθ), r0, 0<θ2πx=r(\cos\theta+i\sin\theta), ~r\ge 0, ~0\lt\theta\le 2\pi とすると、

r(cosθ+isinθ)n=1rn[cos(nθ)+isin(nθ)]=cos(2kπ)+isin(2kπ),kZ \begin{aligned} r(\cos\theta+i\sin\theta)^n &= 1 \cr r^n[\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)] &= \cos(2k\pi) + i\sin(2k\pi), \qquad k\in\Z \end{aligned}

両辺の絶対値と偏角を比較すると、

rn=1r=1 \begin{aligned} r^n &= 1 \cr r &= 1 \end{aligned}

nθ=2kπθ=2kπn,0<kn \begin{aligned} n\theta &= 2k\pi \cr \theta &= \frac{2k\pi}{n}, \qquad 0\lt k\le n \end{aligned}

よって、

x=cos2kπn+isin2kπn, kZ, 0<kn \therefore x = \cos\frac{2k\pi}{n} + i\sin\frac{2k\pi}{n}, \qquad ~k\in\Z, ~0\lt k\le n

補足

n=1n=1 の場合:

x=cos2kπ1+isin2kπ1=cos(2kπ)+isin(2kπ)=cos0+isin0=1 \begin{aligned} x &= \cos\frac{2k\pi}{1} + i\sin\frac{2k\pi}{1} \cr &= \cos(2k\pi) + i\sin(2k\pi) \cr &= \cos0 + i\sin0 \cr &= 1 \end{aligned}

x=1 \therefore x = 1

n=2n=2 の場合:

x=cos2kπ2+isin2kπ2=cos(kπ)+isin(kπ) \begin{aligned} x &= \cos\frac{2k\pi}{2} + i\sin\frac{2k\pi}{2} \cr &= \cos(k\pi) + i\sin(k\pi) \end{aligned}

x={cosπ+isinπ=1(k=1)cos(2π)+isin(2π)=1(k=2) x = \begin{cases} \cos\pi+i\sin\pi &= -1 &(k=1) \cr \cos(2\pi)+i\sin(2\pi) &= 1 &(k=2) \end{cases}

x=±1 \therefore x = \pm1

n=3n=3 の場合:

x=cos2kπ3+isin2kπ3 x = \cos\frac{2k\pi}{3} + i\sin\frac{2k\pi}{3}

x={cos(23π)+isin(23π)=1+i32(k=1)cos(43π)+isin(43π)=1i32(k=2)cos(2π)+isin(2π)=1(k=3) x = \begin{cases} \displaystyle \cos\left(\frac{2}{3}\pi\right)+i\sin\left(\frac{2}{3}\pi\right) &= \displaystyle\frac{-1+i\sqrt{3}}{2} &(k=1) \cr \displaystyle \cos\left(\frac{4}{3}\pi\right)+i\sin\left(\frac{4}{3}\pi\right) &= \displaystyle\frac{-1-i\sqrt{3}}{2} &(k=2) \cr \cos(2\pi)+i\sin(2\pi) &= 1 &(k=3) \end{cases}

x=1, 1±i32 \therefore x = 1,~\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}

n=4n=4 の場合:

x=cos2kπ4+isin2kπ4=coskπ2+isinkπ2 \begin{aligned} x &= \cos\frac{2k\pi}{4} + i\sin\frac{2k\pi}{4} \cr &= \cos\frac{k\pi}{2} + i\sin\frac{k\pi}{2} \end{aligned}

x={cos(12π)+isin(12π)=i(k=1)cosπ+isinπ=1(k=2)cos(32π)+isin(32π)=i(k=3)cos(2π)+isin(2π)=1(k=4) x = \begin{cases} \displaystyle \cos\left(\frac{1}{2}\pi\right)+i\sin\left(\frac{1}{2}\pi\right) &= i &(k=1) \cr \cos\pi+i\sin\pi &= -1 &(k=2) \cr \displaystyle \cos\left(\frac{3}{2}\pi\right)+i\sin\left(\frac{3}{2}\pi\right) &= -i &(k=3) \cr \cos(2\pi)+i\sin(2\pi) &= 1 &(k=4) \cr \end{cases}

x=±1, ±i \therefore x = \pm 1, ~\pm i

参考文献

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