問題

次式の $x$ を求めよ。

\[ x^n = 1, \qquad n\in\N \]

解答

$x=r(\cos\theta+i\sin\theta), ~r\ge 0, ~0\lt\theta\le 2\pi$ とすると、

\[ \begin{aligned} r(\cos\theta+i\sin\theta)^n &= 1 \cr r^n[\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)] &= \cos(2k\pi) + i\sin(2k\pi), \qquad k\in\Z \end{aligned} \]

両辺の絶対値と偏角を比較すると、

\[ \begin{aligned} r^n &= 1 \cr r &= 1 \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} n\theta &= 2k\pi \cr \theta &= \frac{2k\pi}{n}, \qquad 0\lt k\le n \end{aligned} \]

よって、

\[ \therefore x = \cos\frac{2k\pi}{n} + i\sin\frac{2k\pi}{n}, \qquad ~k\in\Z, ~0\lt k\le n \]

補足

$n=1$ の場合：

\[ \begin{aligned} x &= \cos\frac{2k\pi}{1} + i\sin\frac{2k\pi}{1} \cr &= \cos(2k\pi) + i\sin(2k\pi) \cr &= \cos0 + i\sin0 \cr &= 1 \end{aligned} \]

\[ \therefore x = 1 \]

$n=2$ の場合：

\[ \begin{aligned} x &= \cos\frac{2k\pi}{2} + i\sin\frac{2k\pi}{2} \cr &= \cos(k\pi) + i\sin(k\pi) \end{aligned} \]

\[ x = \begin{cases} \cos\pi+i\sin\pi &= -1 &(k=1) \cr \cos(2\pi)+i\sin(2\pi) &= 1 &(k=2) \end{cases} \]

\[ \therefore x = \pm1 \]

$n=3$ の場合：

\[ x = \cos\frac{2k\pi}{3} + i\sin\frac{2k\pi}{3} \]

\[ x = \begin{cases} \displaystyle \cos\left(\frac{2}{3}\pi\right)+i\sin\left(\frac{2}{3}\pi\right) &= \displaystyle\frac{-1+i\sqrt{3}}{2} &(k=1) \cr \displaystyle \cos\left(\frac{4}{3}\pi\right)+i\sin\left(\frac{4}{3}\pi\right) &= \displaystyle\frac{-1-i\sqrt{3}}{2} &(k=2) \cr \cos(2\pi)+i\sin(2\pi) &= 1 &(k=3) \end{cases} \]

\[ \therefore x = 1,~\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2} \]

$n=4$ の場合：

\[ \begin{aligned} x &= \cos\frac{2k\pi}{4} + i\sin\frac{2k\pi}{4} \cr &= \cos\frac{k\pi}{2} + i\sin\frac{k\pi}{2} \end{aligned} \]

\[ x = \begin{cases} \displaystyle \cos\left(\frac{1}{2}\pi\right)+i\sin\left(\frac{1}{2}\pi\right) &= i &(k=1) \cr \cos\pi+i\sin\pi &= -1 &(k=2) \cr \displaystyle \cos\left(\frac{3}{2}\pi\right)+i\sin\left(\frac{3}{2}\pi\right) &= -i &(k=3) \cr \cos(2\pi)+i\sin(2\pi) &= 1 &(k=4) \cr \end{cases} \]

\[ \therefore x = \pm 1, ~\pm i \]

参考文献

• 複素数のn乗根とその図形的意味 | 受験の月