1のn乗根
Contents
問題
次式の x を求めよ。
xn=1,n∈N
解答
x=r(cosθ+isinθ), r≥0, 0<θ≤2π とすると、
r(cosθ+isinθ)nrn[cos(nθ)+isin(nθ)]=1=cos(2kπ)+isin(2kπ),k∈Z
両辺の絶対値と偏角を比較すると、
rnr=1=1
nθθ=2kπ=n2kπ,0<k≤n
よって、
∴x=cosn2kπ+isinn2kπ, k∈Z, 0<k≤n
補足
n=1 の場合:
x=cos12kπ+isin12kπ=cos(2kπ)+isin(2kπ)=cos0+isin0=1
∴x=1
n=2 の場合:
x=cos22kπ+isin22kπ=cos(kπ)+isin(kπ)
x={cosπ+isinπcos(2π)+isin(2π)=−1=1(k=1)(k=2)
∴x=±1
n=3 の場合:
x=cos32kπ+isin32kπ
x=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧cos(32π)+isin(32π)cos(34π)+isin(34π)cos(2π)+isin(2π)=2−1+i3=2−1−i3=1(k=1)(k=2)(k=3)
∴x=1, 2−1±i3
n=4 の場合:
x=cos42kπ+isin42kπ=cos2kπ+isin2kπ
x=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧cos(21π)+isin(21π)cosπ+isinπcos(23π)+isin(23π)cos(2π)+isin(2π)=i=−1=−i=1(k=1)(k=2)(k=3)(k=4)
∴x=±1, ±i
参考文献
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